En ce sens, la géométrie intervient en ingénierie dans l'étude de la stabilité d'un système mécanique.

Géométries symplectique et de contact[modifier | modifier le code]
La géométrie symplectique est une branche de la géométrie différentielle et peut être introduite comme une généralisation en dimension supérieure de la notion d'aire orientées rencontrée en dimension 2. Elle est liée aux formes bilinéaires alternées. Les objets de cette géométrie sont les variétés symplectiques, qui sont des variétés différentielles munie d'un champ de formes bilinéaires alternées. Par exemple, un espace affine attaché à un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire alternée non dégénérée est une variété symplectique.

La géométrie de contact est une branche de la géométrie différentielle qui étudie les variétés de contact, qui sont des variétés différentielles munies d'un champ d'hyperplans des espaces tangents vérifiant certaines propriétés. Par exemple, l'espace projectif déduit un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire alternée non dégénérée est une variété de contact.

Géométries discrète et convexe[modifier | modifier le code]
Articles détaillés : Géométrie discrète et Articles en rapport avec la géométrie convexe.
Géométries algébrique et arithmétique[modifier | modifier le code]
Articles détaillés : Géométrie algébrique et Géométrie arithmétique.
Géométrie non commutative[modifier | modifier le code]
Article détaillé : Géométrie non commutative.
Applications de la géométrie[modifier | modifier le code]
Longtemps, géométrie et astronomie ont été liées. À un niveau élémentaire, le calcul des tailles de la lune, du Soleil et de leurs distances respectives à la Terre fait appel au théorème de Thalès[réf. nécessaire]. Dans les premiers modèles du système solaire, à chaque planète était associé un solide platonicien. Depuis les observations astronomiques de Kepler, confirmées par les travaux de Newton, il est prouvé que les planètes suivent une orbite elliptique dont le Soleil constitue un des foyers. De telles considérations de nature géométrique peuvent intervenir couramment en mécanique classique pour décrire qualitativement les trajectoires.

En ce sens, la géométrie intervient en ingénierie dans l'étude de la stabilité d'un système mécanique. Mais elle intervient encore plus naturellement dans le dessin industriel. Le dessin industriel montre les coupes ou les projections d'un objet tridimensionnel, et est annoté des longueurs et angles. C'est la première étape de la mise en place d'un projet de conception industrielle. Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie.

La courbure d'une variété riemannienne mesure par définition la dépendance éventuelle du transport

Lorsqu'il y a des classifications explicites des groupes de Lie ou algébriques ou des leurs espaces homogènes vérifiant certaines hypothèses (groupes de Lie ou algébriques simples, espaces symétriques, variétés de drapeaux généralisées, espaces de courbure constante, par exemple), les principaux éléments de ces classifications sont parfois issus de la géométrie classique, et les groupes auxquels sont associés ses géométrie classique sont liés aux groupes dits classiques (groupes linéaires, orthogonaux, symplectiques, par exemple).

La plupart des géométries classiques sont liées aux groupes de Lie ou algébriques simples, dit classiques (ils sont issus de l'algèbre linéaire). Il y a d'autres groupes de Lie ou algébriques simples, et ils sont dits « exceptionnels » et ils donnent lieu à la géométrie exceptionnelle, avec certaines analogies avec la géométrie classique. Cette distinction est due au fait que les groupes simples sont (sous certaines hypothèses) classés en plusieurs séries infinies (souvent quatre) et en un nombre fini d'autres groupes (souvent cinq), et c'est ces derniers groupes qui sont exceptionnels, et ils ne relèvent pas de l'algèbre linéaire (du moins pas de la même manière): ils sont souvent liés à des structures algébriques non associatives (algèbres d'octonions, algèbres de Jordan exceptionnelles, par exemple).

Aux groupes de Lie ou algébriques simples sont associés des diagrammes de Dynkin (des sortes de graphes), et certaines propriétés de ces géométries peuvent se lire dans ces diagrammes.

Domaines de recherche relevant de la géométrie[modifier | modifier le code]
Géométrie riemannienne[modifier | modifier le code]
La géométrie riemannienne peut être vue comme une extension de la géométrie euclidienne. Son étude porte sur les propriétés géométriques d'espaces (variétés) présentant une notion de vecteurs tangents, et équipés d'une métrique (métrique riemannienne) permettant de mesurer ces vecteurs. Les premiers exemples rencontrés sont les surfaces de l'espace euclidien de dimension 3 dont les propriétés métriques ont été étudiées par Gauss dans les années 1820. Le produit euclidien induit une métrique sur la surface étudiée par restriction aux différents plans tangents. La définition intrinsèque de métrique fut formalisée en dimension supérieure par Riemann. La notion de transport parallèle autorise la comparaison des espaces tangents en deux points distincts de la variété : elle vise à transporter de manière cohérente un vecteur le long d'une courbe tracée sur la variété riemannienne. La courbure d'une variété riemannienne mesure par définition la dépendance éventuelle du transport parallèle d'un point à un autre par rapport à la courbe les reliant.

La métrique donne lieu à la définition de la longueur des courbes, d'où dérive la définition de la distance riemannienne. Mais les propriétés métriques des triangles peuvent différer de la trigonométrie euclidienne. Cette différence est en partie étudiée à travers le théorème de Toponogov (en), qui permet de comparer du moins localement la variété riemannienne étudiée à des espaces modèles, selon des inégalités supposées connues sur la courbure sectionnelle. Parmi les espaces modèles :

L'espace euclidien est une variété riemannienne de courbure nulle ;
La sphère de dimension n est une variété riemannienne de courbure positive constante 1 ;
L'espace hyperbolique (en) de dimension n est une variété riemannienne de courbure négative -1.
Géométrie complexe[modifier | modifier le code]
La géométrie complexe porte sur les propriétés d'espaces pouvant localement s'identifier à \mathbb C^n. Ces objets (variété complexe) présentent une certaine rigidité, découlant de l'unicité d'un prolongement analytique d'une fonction à plusieurs variables.

ne la fonde. Il eut un rôle médiateur dans le débat sur la nature des géométries non-euclidiennes et la

Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.

Voir l'axiomatique de Hilbert ou les Éléments d'Euclide pour des énoncés plus complet de la géométrie euclidienne.

La réfutation de ce postulat a conduit à l'élaboration de deux géométries non euclidiennes : la géométrie hyperbolique par Gauss, Lobatchevski, Bolyai et la géométrie elliptique par Riemann.

Programme d'Erlangen[modifier | modifier le code]
Dans la conception de Felix Klein (auteur du programme d'Erlangen), la géométrie est l'étude des espaces de points sur lesquels opèrent des groupes de transformations (appelées aussi symétries) et des quantités et des propriétés qui sont invariantes pour ces groupes.

Parmi les transformations les plus connues, on retrouve les isométries, les similitudes, les rotations, les réflexions, les translations et les homothéties.

Il ne s'agit donc pas d'une discipline mais d'un important travail de synthèse qui a permis une vision claire des particularités de chaque géométrie. Ce programme caractérise donc plus la géométrie qu'il ne la fonde. Il eut un rôle médiateur dans le débat sur la nature des géométries non-euclidiennes et la controverse entre géométries analytique et synthétique.

Géométrie des groupes classiques[modifier | modifier le code]
Il y a en géométrie différentielle et en géométrie algébrique des groupes de Lie et des groupes algébriques, qui eux ont des espaces homogènes, et la géométrie classique se ramène souvent à l'étude de ces espaces homogènes. Les géométries affine et projective sont liées aux groupes linéaires, et les géométries euclidienne, sphérique, elliptique et hyperbolique sont liées aux groupes orthogonaux.

familière la notion de sens ou orientation (c'est-à-dire, cela permet de distinguer \scriptstyle{

Géométrie plane[modifier | modifier le code]
La géométrie plane repose d'abord sur une axiomatique qui définit l'espace ; puis sur des méthodes d'intersections, de transformations et de constructions de figures (triangle, parallélogramme, cercle, sphère, etc.).

La géométrie projective est la plus minimaliste, ce qui en fait un tronc commun7 pour les autres géométries. Elle est fondée sur des axiomes

d'incidence (ou d'appartenance) dont la caractéristique la plus notable (et la plus singulière) est : « Deux droites coplanaires possèdent un unique point commun. »
d'ordre : permet notamment d'ordonner les points d'une droite. De ce point de vue, une droite projective s'apparente à un cercle car deux points définissent deux segments.
de continuité : Ainsi, dans tout espace géométrique, l'on peut joindre un point à un autre par un cheminement continu. En géométrie euclidienne, cet axiome est l'axiome d'Archimède.
Parallélisme
Distinguer dans la géométrie projective des éléments impropres caractérise la géométrie arguésienne. Puis la géométrie affine nait de l'élimination de ces éléments impropres. Cette suppression de points crée la notion de parallélisme puisque désormais certaines paires de droites coplanaires cessent d'intersecter. Le point impropre supprimé est assimilable à la direction ces droites. De plus, deux points ne définissent plus qu'un segment (celui des deux qui ne contient pas le point impropre) et rend familière la notion de sens ou orientation (c'est-à-dire, cela permet de distinguer \scriptstyle{ \overline{AB}} de \scriptstyle{\overline{BA}}8).

Congruence
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Géométries euclidienne et non euclidiennes
Le cinquième axiome ou « postulat de parallèles » de la géométrie d'Euclide fonde la géométrie euclidienne :

initial ». Jean-Jacques Sczeciniarcz relève deux mouvements dans la recherche mathématique qui a

Les questions posées durant le xixe siècle ont conduit à repenser les notions de forme et d'espace, en écartant la rigidité des distances euclidiennes. Il a été envisagé la possibilité de déformer continument une surface sans préserver la métrique induite, par exemple de déformer une sphère en un ellipsoïde. Étudier ces déformations a conduit à l'émergence de la topologie[réf. nécessaire] : ses objets d'étude sont des ensembles, les espaces topologiques, dont la notion de proximité et de continuité est définie ensemblistement par la notion de voisinage. Selon certains mathématiciens, la topologie fait pleinement partie de la géométrie, voire en est une branche fondamentale. Cette classification peut être remise en cause par d'autres.

Selon le point de vue de Felix Klein (1849 - 1925), la géométrie analytique « synthétisait en fait deux caractères ultérieurement dissociés : son caractère fondamentalement métrique, et l'homogénéité »3. Le premier caractère se retrouve dans la géométrie métrique, qui étudie les propriétés géométriques des distances. Le second est au fondement du programme d'Erlangen, qui définit la géométrie comme l'étude des invariants d'actions de groupe.

Les travaux actuels, dans des domaines de recherche portant le nom de géométrie, tendent à remettre en cause la première définition donnée. Selon Jean-Jacques Szczeciniarcz4, la géométrie ne se construit pas sur « la simple référence à l'espace, ni même [sur] la figuration ou [sur] la visualisation » mais se comprend à travers son développement : « la géométrie est absorbée mais en même temps nous parait attribuer un sens aux concepts en donnant par ailleurs l'impression d'un retour au sens initial ». Jean-Jacques Sczeciniarcz relève deux mouvements dans la recherche mathématique qui a conduit à un élargissement ou à un morcellement de la géométrie :

la procédure d'idéalisation consistant à montrer l'importance d'une structure en l'ajoutant aux objets mathématiques déjà étudiés ;
au contraire, la procédure de thématisation consistant à dégager une nouvelle structure sous-jacente à des objets géométriques déjà étudiés.
Dans le prolongement, la géométrie peut être abordée non plus comme une discipline unifiée mais comme une vision des mathématiques ou une approche des objets. Selon Gerhard Heinzmann5, la géométrie se caractérise par « un usage de termes et de contenus géométriques, comme, par exemple, « points », « distance » ou « dimension » en tant que cadre langagier dans les domaines les plus divers », accompagné par un équilibre entre une approche empirique et une approche théorique.

Histoire[modifier | modifier le code]
Article détaillé : Histoire de la géométrie.
Géométrie classique[modifier | modifier le code]
Pour Henri Poincaré6, l’espace géométrique possède les propriétés suivantes :

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Diesel Krooley Jeans 880W 0880W

Description du produit

Coupe de la jambe : Jambe droite

Style du pantalon : Coupe carotte slim régulière

PRIX CONSEILLÉ : £

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Fabriqué en Italie

Aspect usé avec denim abîmé

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Déçu
Par geko
Jeans déchirer effet mode, très nul, qualité en dessous de Diesel, je pense que c.est un faut. Je ne commanderai plus de jeans de marque,trop déçuVoir tous les 1 commentaires clients...
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Diesel - Krooley 880 G - Jean teinté - bleu foncé - W30/L34

Description du produit

Jean slim « Krooley » teinté bleu foncé de la marque Diesel. Style 5 poches, coupe carotte droite. Effet délavé et froncé. Logo de la marque au niveau de la taille. Matière robuste et finition d'excellente qualité Marque : Diesel Modèle : Krooley Couleur : bleu foncé Lavage : 0880G Matière : 100 % coton

Diesel - Krooley 880 G - Jean teinté - bleu foncé - W30/L34

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Danity-Blouses et Chemisiers-Chemisier manches longues à carreaux-Gris-M

Description du produit

Description du produit : - La blouse esprit chemisier par Danity - Blouse manches longues, col chemise - Tissu à carreaux Prince de Galles sur le devant - Col, manches et dos unis en mousseline blanche - Fermeture par bouton nuque - Couleur: Gris - Longueur : 65 cm Composition: 100% Polyester Entretien : Conformément aux instructions sur l’étiquette Notre mannequin mesure 1m76 et porte ce chemisier en taille S. Optez pour le chic So British avec ce Chemisier manches longues à carreaux ! A porter avec un pantalon carotte et des escarpins, sans oublier un joli cartable pour un look résolument tendance et élégant.

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Danity-Blouses et Chemisiers-Chemisier à superposition et col orné-Blanc-S

Description du produit

Description du produit : - Le chemisier tendance par Danity - Chemisier manches longues blousantes - Superposition sur le devant - Col orné de petites fleurs style pâquerettes - Col et poignets contrastants - Fermeture goutte dos - Couleur: Blanc Crème, col et poignets Bleu Marine - Longueur : 61 cm - Composition: 100% Polyester Entretien : Conformément aux instructions sur l’étiquette Notre mannequin mesure 1m76 et porte une taille S Ce Chemisier à superposition et col orné sera très chic sur un pantalon carotte et avec une jolie paire d'escarpins.

Danity-Blouses et Chemisiers-Chemisier à superposition et col orné-Blanc-S

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Cross Over Double Lapel Jumpsuit (10,Black)

Description du produit

Mettez-vous en valeur avec cette superbe combinaison qui souligne la silhouette. Très élégante avec ses épaulettes au design de science fiction, elle vous guarantit un look gagnant à tous les coups. Matière tissée stretch, épaules rembourrées, coupe double revers croisés, taille plissée, 2 poches glissantes, pantalon coupe carotte, fermeture dans le dos via zip dissimulé. Taille haute 31cm. Longueur depuis l'entrejambe 76cm. Longueur depuis l'epaule 152cm.

Cross Over Double Lapel Jumpsuit (10,Black)

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Dsquared² Dsquared Pantalon Femmes, Couleur: Noir, Taille: 40

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Dsquared² Dsquared Pantalon Femmes, Couleur: Beige, Taille: 40

Description du produit

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Dsquared² Dsquared Pantalon Femmes, Couleur: Beige, Taille: 40

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Taille 38 change pour taille 40
Par MARKHOVSKAYA
J'ai désirer change taille . Ma besoin taille 40,cet pantalon pour taille 38 trop petit . Merci votre compréhension .Voir tous les 1 commentaires clients...
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Roman Originals - Pantalon Simple Jean Jegging - Tailles 38 à 50 - Femme Size 18

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Luisa Spagnoli Pantalons Pantalon 7/8 FRANCESCA, Couleur: Bleu foncé, Taille: 44

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Luisa Spagnoli Pantalons Pantalon 7/8 FRANCESCA, Couleur: Bleu foncé, Taille: 44

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