familière la notion de sens ou orientation (c'est-à-dire, cela permet de distinguer \scriptstyle{

Géométrie plane[modifier | modifier le code]
La géométrie plane repose d'abord sur une axiomatique qui définit l'espace ; puis sur des méthodes d'intersections, de transformations et de constructions de figures (triangle, parallélogramme, cercle, sphère, etc.).

La géométrie projective est la plus minimaliste, ce qui en fait un tronc commun7 pour les autres géométries. Elle est fondée sur des axiomes

d'incidence (ou d'appartenance) dont la caractéristique la plus notable (et la plus singulière) est : « Deux droites coplanaires possèdent un unique point commun. »
d'ordre : permet notamment d'ordonner les points d'une droite. De ce point de vue, une droite projective s'apparente à un cercle car deux points définissent deux segments.
de continuité : Ainsi, dans tout espace géométrique, l'on peut joindre un point à un autre par un cheminement continu. En géométrie euclidienne, cet axiome est l'axiome d'Archimède.
Parallélisme
Distinguer dans la géométrie projective des éléments impropres caractérise la géométrie arguésienne. Puis la géométrie affine nait de l'élimination de ces éléments impropres. Cette suppression de points crée la notion de parallélisme puisque désormais certaines paires de droites coplanaires cessent d'intersecter. Le point impropre supprimé est assimilable à la direction ces droites. De plus, deux points ne définissent plus qu'un segment (celui des deux qui ne contient pas le point impropre) et rend familière la notion de sens ou orientation (c'est-à-dire, cela permet de distinguer \scriptstyle{ \overline{AB}} de \scriptstyle{\overline{BA}}8).

Congruence
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Géométries euclidienne et non euclidiennes
Le cinquième axiome ou « postulat de parallèles » de la géométrie d'Euclide fonde la géométrie euclidienne :

initial ». Jean-Jacques Sczeciniarcz relève deux mouvements dans la recherche mathématique qui a

Les questions posées durant le xixe siècle ont conduit à repenser les notions de forme et d'espace, en écartant la rigidité des distances euclidiennes. Il a été envisagé la possibilité de déformer continument une surface sans préserver la métrique induite, par exemple de déformer une sphère en un ellipsoïde. Étudier ces déformations a conduit à l'émergence de la topologie[réf. nécessaire] : ses objets d'étude sont des ensembles, les espaces topologiques, dont la notion de proximité et de continuité est définie ensemblistement par la notion de voisinage. Selon certains mathématiciens, la topologie fait pleinement partie de la géométrie, voire en est une branche fondamentale. Cette classification peut être remise en cause par d'autres.

Selon le point de vue de Felix Klein (1849 - 1925), la géométrie analytique « synthétisait en fait deux caractères ultérieurement dissociés : son caractère fondamentalement métrique, et l'homogénéité »3. Le premier caractère se retrouve dans la géométrie métrique, qui étudie les propriétés géométriques des distances. Le second est au fondement du programme d'Erlangen, qui définit la géométrie comme l'étude des invariants d'actions de groupe.

Les travaux actuels, dans des domaines de recherche portant le nom de géométrie, tendent à remettre en cause la première définition donnée. Selon Jean-Jacques Szczeciniarcz4, la géométrie ne se construit pas sur « la simple référence à l'espace, ni même [sur] la figuration ou [sur] la visualisation » mais se comprend à travers son développement : « la géométrie est absorbée mais en même temps nous parait attribuer un sens aux concepts en donnant par ailleurs l'impression d'un retour au sens initial ». Jean-Jacques Sczeciniarcz relève deux mouvements dans la recherche mathématique qui a conduit à un élargissement ou à un morcellement de la géométrie :

la procédure d'idéalisation consistant à montrer l'importance d'une structure en l'ajoutant aux objets mathématiques déjà étudiés ;
au contraire, la procédure de thématisation consistant à dégager une nouvelle structure sous-jacente à des objets géométriques déjà étudiés.
Dans le prolongement, la géométrie peut être abordée non plus comme une discipline unifiée mais comme une vision des mathématiques ou une approche des objets. Selon Gerhard Heinzmann5, la géométrie se caractérise par « un usage de termes et de contenus géométriques, comme, par exemple, « points », « distance » ou « dimension » en tant que cadre langagier dans les domaines les plus divers », accompagné par un équilibre entre une approche empirique et une approche théorique.

Histoire[modifier | modifier le code]
Article détaillé : Histoire de la géométrie.
Géométrie classique[modifier | modifier le code]
Pour Henri Poincaré6, l’espace géométrique possède les propriétés suivantes :